针对iPhone 5s无法升级软件的问题，以下是综合解决方案：

### 一、基础排查与网络优化

**检查网络连接**

- 切换Wi-Fi/移动数据网络，尝试连接其他Wi-Fi热点或使用移动数据测试。

- 若使用Wi-Fi，可尝试在路由器后台查看设备连接状态，或重启路由器。

**重启设备**

- 简单重启可解决临时性系统故障，操作步骤：关闭设备→按住电源键重启。

**清理App Store缓存**

- 在iPhone设置→iTunes Store与App Store中注销当前账号，重新登录。

### 二、系统更新与账户问题

**更新iTunes与设备**

- 在电脑端下载最新iTunes软件，通过数据线连接设备后，使用iTunes检查并安装系统更新。

- 若通过App Store更新失败，可尝试在iTunes中强制更新（高级选项）。

**检查Apple ID密码**

- 确认App Store ID与设备密码正确，若忘记密码可通过苹果官网重置。

**恢复出厂设置（谨慎操作）**

- 备份数据后，通过iTunes或官网工具恢复出厂设置，解决系统文件损坏问题。

### 三、其他解决方案

**使用第三方工具**

- 如PP助手等第三方平台可安装旧版本应用，但存在安全风险且不支持系统更新。

**等待App Store恢复**

- 若怀疑是App Store服务器问题，可尝试等待官方修复或使用其他网络环境下载。

### 注意事项

- **数据备份** ：所有操作前建议备份联系人、照片等重要数据。

- **系统限制** ：iPhone 5s最高支持iOS 13，后续系统无法直接升级，需通过上述方法解决兼容性问题。

- **风险提示** ：第三方工具可能违反苹果条款，导致设备变砖或失去保修，建议优先使用官方渠道。

若以上方法仍无法解决，建议联系苹果官方客服或前往授权维修点检测设备硬件状态。