针对iPhone 5s无法升级软件的问题，以下是综合解决方案：

### 一、基础排查与网络优化

**检查网络连接**

- 确保设备连接稳定的Wi-Fi或开启蜂窝数据（避免关闭该选项导致更新失败）。

- 若使用Wi-Fi，可尝试切换为其他Wi-Fi热点测试；若使用蜂窝数据，检查是否开启且信号良好。

**重启设备**

- 简单的重启操作可能解决临时性系统故障。

### 二、系统设置调整

**关闭自动更新（谨慎使用）**

- 进入「设置」→「iTunes Store与App Store」，关闭「自动下载的项目」中的「更新」开关。

- 注意：此操作需重新登录Apple ID，且部分功能可能受限。

**清理存储空间**

- 删除不必要的应用、文件或备份大文件（如照片、视频）至iCloud或电脑。

- 释放存储空间后，系统更新所需空间将更充足。

**检查Apple ID与网络设置**

- 注销后重新登录Apple ID，确保账号密码正确。

- 在「设置」→「通用」中还原网络设置（如DNS修改为114.114.114.114）。

### 三、高级解决方案

**使用iTunes手动更新**

- 在电脑端安装最新iTunes，连接设备后点击「检查更新」。

- 此方法需注意：

- 需关闭「自动下载的项目」中的「更新」开关；

- 若系统版本过低，需先升级系统（建议备份数据后还原出厂设置）。

**处理特殊情况**

- **系统版本过低** ：需升级至支持iOS 13的iOS 12.9（需备份数据并还原出厂设置）；

- **越狱设备** ：建议联系苹果官方客服或授权服务中心处理；

- **硬件故障** ：若以上方法无效，可能是硬件问题，需专业维修。

### 四、注意事项

- **备份数据** ：操作前务必备份联系人、照片等重要数据；

- **系统限制** ：iPhone 5s最大支持iOS 13，无法升级至更高版本；

- **官方渠道** ：建议通过苹果官网或授权服务商获取工具和固件。

若尝试以上方法仍无法解决，建议联系苹果官方客服获取进一步支持。